ערימות מינימום - Minimum Heaps הגדרה: שימושים: מימושים: מבנה נתונים שמוגדרות עליו הפעולות הבאות: MakeHeap. בניית ערימה מתוך Insert(x) איברי קלט.

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "ערימות מינימום - Minimum Heaps הגדרה: שימושים: מימושים: מבנה נתונים שמוגדרות עליו הפעולות הבאות: MakeHeap. בניית ערימה מתוך Insert(x) איברי קלט."

Dagfinn Bjerke
6 år siden
Visninger:

1 Minimum Heaps ערימות מינימום -. הגדרה: מבנה נתונים שמוגדרות עליו הפעולות הבאות: MakeHeap בניית ערימה מתוך n Insert() הכנסת איבר DecKey(p, ) לערימה. הקטנת המפתח של הצומת איברי קלט. p FindMin DelMin לערך מציאת האיבר המינימלי בערימה. הוצאת האיבר המינימלי מהערימה. שימושים: תור עדיפויות, Sort( )Heap מיון ערימה ועוד... מימושים: עץ חיפוש מאוזן עם מצביע לאיבר המינימלי. עץ כמעט שלם. יונתן יניב, דוד וייץ מבני נתונים - טכניון

2 O n log n O log n O log n O O log n. מימוש ע"י עץ חיפוש מאוזן MakeHeap Insert() הכנסת כל האיברים לעץ. הכנסת DecKey(p, ) הסרת הצומת p FindMin DelMin לעץ ועדכון המינימום במידת הצורך. החזרת הערך המוצבע והכנסתו מחדש לעץ עם הערך ע"י המצביע למינימום. הוצאת המינימום מהעץ ומציאת מינימום חדש..O n מימוש ערימה כעץ כמעט שלם תשפר את סיבוכיות הזמן של MakeHeap ל מבני נתונים - טכניון 2

3 עץ כמעט שלם עץ שלם: עץ בינארי בו לכל צומת פנימי בדיוק שני בנים וכל העלים באותה רמה בעץ. עץ כמעט שלם: עץ שלם שבו חסרים )אולי( עלים אחרונים בעץ נמספר את הצמתים לפי סדר השורות, משמאל לימין. נקרא למספרים אלה אינדקסים. מבני נתונים - טכניון 3

4 תכונות עץ כמעט שלם. עץ כמעט שלם בעל n צמתים וגובה h מקיים: 2 h n 2 h+ ומכאן h = O log n n + מספר העלים הוא. n 2 מספר הצמתים הפנימיים הוא. n 2 אינדקס השורש הוא תמיד. העלה האחרון בעל אינדקס n. צומת חדש שיוכנס יקבל את האינדקס עבור צומת i: אינדקס בנו השמאלי הוא 2i, אינדקס בנו הימני הוא + 2i מכאן, צומת הוא בן שמאלי אם"ם יש לו אינדקס זוגי. אינדקס אביו הוא 2/i. 5. צומת הוא עלה אם"ם 2i. > n מבני נתונים - טכניון 4

5 מימוש ערימה כעץ כמעט שלם )במערך( נשתמש במערך כאשר ידוע לנו חסם על מספר האיברים שיהיו בערימה. בעזרת התכונות שתיארנו, ניתן לשכן עץ כמעט שלם במערך: האינדקסים של הצמתים בעץ ישמשו כאינדקסים של כניסות המערך. ניתן להגיע מאב לבן ולהיפך ב.O נשמור מקום פנוי בסוף המערך לאיברים חדשים. נשמור גם את n - מספר התאים המנוצלים במערך במימוש ערימת מינימום באמצעות עץ כמעט שלם, האיברים יקיימו את הכלל הבא: כלל הערימה )ערימת מינימום(: כל בן גדול מאביו. מכאן, האיבר המינימלי בערימת מינימום תמיד יופיע בשורש. נראה כעת כיצד לממש את שלושת הפעולות האחרות. מבני נתונים - טכניון 5

Sift Down Sift Down() Sift Down אלגוריתם: כל עוד גדול מאחד מבניו )בהנחה שאינו

6 .O n Make Heap בהינתן n איברים, הפעולה בונה ערימת מינימום שמכילה איברים אלו בזמן לצורך כך, נגדיר פעולת עזר:.Sift Down Sift Down() Sift Down אלגוריתם: כל עוד גדול מאחד מבניו )בהנחה שאינו עלה(, החלף בין לבין בנו המינימלי. Min Heap Min Heap y z z, y y z נכונות: Min Heap h סיבוכיות:,O h כאשר גובה הקלט. מבני נתונים - טכניון 6

7 :Make Heap Make Heap נשתמש בפעולת Sift Down באופן הבא, על מנת לממש את פעולת עד )בסדר יורד(, n 2 אלגוריתם: לכל i מ בצע Sift Down על הצומת ה i בעץ דוגמא: מבני נתונים - טכניון

8 Make Heap דוגמא: T n T n n ניתוח סיבוכיות: כל פעולת לוקחת במקרה הגרוע. מבני נתונים - טכניון.O n log n O log n Make Heap היא Sift Down לכאורה, סיבוכיות הזמן של למעשה, מספר הפעולות שאנו מבצעים הוא לכל היותר: n n 4 + n log n n n = n 8

Sift Up Sift Up() Sift Up אלגוריתם: כל עוד קטן מאביו, החלף בין לאביו.

9 Insert() נוסיף את האיבר החדש כעלה חדש )באינדקס הפנוי הראשון במערך(. כדי לתקן את הערימה, נעזר בפעולת עזר חדשה:.Sift Up Sift Up() Sift Up אלגוריתם: כל עוד קטן מאביו, החלף בין לאביו. Min Heap y z < z < y y z נכונות: h סיבוכיות:,O h כאשר גובה הקלט. Min Heap מבני נתונים - טכניון 9

10 Insert() דוגמא: ניתוח סיבוכיות: O log n,sift Up פעולת ההכנסה, יחד עם פעולת התיקון לוקחת במקרה הגרוע. מבני נתונים - טכניון 0

11 .p ) - Dec-Key(p, הקטנת מפתח אלגוריתם: אם הערך ב- p קטן מ-, אל תבצע דבר. אחרת, שנה ערך ל- ובצע Sift Up לצומת המוצבע ע"י DecKey(p, ) p O log n דוגמא: סיבוכיות: במקרה הגרוע. מבני נתונים - טכניון

12 )שקודם הופיע כשורש( מהעץ. Del Min נחליף בין השורש לבין העלה האחרון ונמחק את האיבר המינימלי נבצע Sift Down על השורש החדש על מנת לקבל ערימה תקינה דוגמא: ניתוח סיבוכיות: O log n במקרה הגרוע. מבני נתונים - טכניון 2

13 מימוש ערימה כעץ כמעט שלם )בעץ בינארי( אם לא ידוע חסם על מספר האיברים, ניתן לממש ערימת מינימום כעץ כמעט שלם ללא מערך השינויים שיש לבצע לכל אחת מהפעולות :.Postorder נעבור על הצמתים הפנימיים לפי סדר :Make Heap פעולת Sift Down דורשת ששני המצביעים לבנים יצביעו לערימות חוקיות. נבצע Sift Up מהצומת )ללא שינוי(. :DecKey :Insert נוסיף עלה נוסף ונבצע Sift Up ממנו. Sift Down מהשורש נחליף בין העלה האחרון ובין השורש. נבצע )החדש(. :Del Min כיצד נמצא את מקום ההכנסה של העלה הבא? מבני נתונים - טכניון 3 שאלה: כיצד נמצא את העלה האחרון? תשובה: בשקף הבא.

14 שאלה נתון עץ כמעט שלם הממומש ע"י עץ דינמי. כיצד מוצאים את הצומת בעל האינדקס ה i? פתרון 0 0 = 00 2 נזכר בתכונות אותן הראינו עבור עצים כמעט שלמים: השורש הוא הצומת בעל אינדקס. עבור צומת i: אינדקס בנו השמאלי הוא 2i, אינדקס בנו הימני הוא + 2i כלומר, בכל צעד שמאלה שאנו עושים, אנו מוסיפים 0 לייצוג הבינארי של האינדקס. בכל צעד ימינה, אנו מוסיפים לייצוג הבינארי של האינדקס. על מנת למצוא את הצומת בעל אינדקס i:.i נסתכל על הייצוג הבינארי של לכל ביט, החל מהביט השני משמאל: 0 עבור ביט נלך שמאלה, עבור ביט נלך ימינה. מבני נתונים - טכניון 4

15 סיכום מימושי ערימה עץ חיפוש מאוזן עץ כמעט שלם )כמערך או כעץ( O n O n log n Make Heap O log n O log n Insert() O log n O log n DecKey(p, ) O O Find Min O log n O log n Del Min מבני נתונים - טכניון 5

16 תרגיל נתונה רשימה מקושרת של מספרים ובנוסף נתון ערך החציון של רשימה זו. לכל אורך שאלה זו הכוונה בחציון הוא האיבר הקטן ביותר במבנה הגדול מ- n 2 איברים במבנה. יש לממש מבנה נתונים התומך בפעולות הבאות: O, m כאשר m מספר האיברים ברשימה. אתחול המבנה בזמן Init O, log n כאשר n מספר האיברים במבנה. הוסף את למבנה בזמן Insert() O. החזר את ערך החציון ב FindMed O. log n הוצא את החציון מהמבנה בזמן DelMed S 9 פתרון נחזיק שתי ערימות: ערימת מקסימום S שמכילה את n 2 n ערימת מינימום L שמכילה את L 2 האיברים הקטנים. האיברים הגדולים מבני נתונים - טכניון

17 S L ערימת מינימום עם האיברים הגדולים. ערימת מקסימום עם האיברים הקטנים. n 2 n 2, L = S + נשים לב כי חייב להתקיים: L = S או לפי הגדרת המבנה. נחלק את איברי הקלט לשתי קבוצות: קטנים מהחציון וגדולים/שווים לחציון. Init נפעיל כעת, Make Heap על כל אחד מחצאי הקבוצות לקבלת שתי הערימות. סה"כ:.O m + 2 O(m/2) = O m.o החציון הוא שורש הערימה L, לכן נחזיר אותו בזמן FindMed.L S. אחרת, אם קטן מהחציון, נכניס אותו ל נכניס אותו ל Insert() במידת הצורך, נתקן את גדלי הערימות,S: L.L נעביר את שורש הערימה S ל אם S L =.S נעביר את שורש הערימה L ל אם + 2 S L =.L S נמחק את השורש של.L אם S L = נעביר את שורש הערימה ל DelMed O 3 log n 2 שתי הפעולות האחרונות לוקחות = O log n במקרה הגרוע. מבני נתונים - טכניון 7

18 תרגיל 2 תארו מבנה נתונים המאפשר את ביצוע הפעולות הבאות בסיבוכיות הנדרשת: בהינתן n איברי קלט, אתחול מבנה הנתונים בזמן O. n Init הוסף את למבנה הנתונים בזמן O. log n Insert() החזר את המינימום/מקסימום בהתאמה בזמן O. FindMin, FindMa O. log n הוצא את המינימום/מקסימום בהתאמה מהמבנה בזמן DelMin, DelMa פתרון נחזיק שתי ערימות בו זמנית: ערימת מינימום וערימת מקסימום שאלה: תשובה: איך נמצא לכל איבר את העותק שלו בערימה השנייה? נשמור מצביעים דו כיווניים בין כל זוג עותקים. מבני נתונים - טכניון 8

19 פתרון נחזיק שתי ערימות בו זמנית: ערימת מינימום וערימת מקסימום בפעולת DelMa נמחק את שורש ערימת המקסימום ואת העותק שלו בערימת המינימום. כיצד מוחקים צומת מבצעים p מערימת מינימום?.DecKey(p, ) מבצעים.DelMin מבני נתונים - טכניון 9

20 פתרון בעזרת ערימה אחת )עם מידע נוסף( נשמור את כל האיברים בערימת מינימום אחת. כל צומת יחזיק שדה נוסף,ma שישמור את הערך המקסימלי בתת העץ של הצומת )כולל הוא עצמו(. בצע Make Heap ולאחר מכן סיור Postorder לחישוב שדות ה O. n :ma הכנס את לערימה ועדכן את שדות ה ma במסלול ההכנסה מלמטה עד השורש. סיבוכיות:.O log n החזר את ערך השורש: O. החזר את ערך ה ma שבשורש: O. הוצא את השורש. עדכן את שדות ה ma לאורך שני מסלולים:. המסלול מהעלה האחרון )זה שנמחק( עד לשורש. 2. מסלול ה Sift Down מהשורש סה"כ:.O log n נמצא את המקסימום באופן הבא: למטה. נתחיל מהשורש. נבדוק למי מהבנים ערך ma גדול יותר ונלך אליו. נמשיך רקורסיבית. נמחק עלה זה כפי שהראינו קודם ונעדכן את שדות ה ma לאורך 2 המסלולים. סה"כ:.O log n מבני נתונים - טכניון Init Insert() FindMin FindMa DelMin DelMa 20

Like dokumenter

פתרונות לתרגיל 4. נתון עץ B עם פרמטר t א. מקסימלי של מפתחות שיכולים להיות בעץ )מהו n מקסימלי( כפונקציה של h ו- t. הראו את החישובים ונמקו.

פתרונות לתרגיל 4. נתון עץ B עם פרמטר t א. מקסימלי של מפתחות שיכולים להיות בעץ )מהו n מקסימלי( כפונקציה של h ו- t. הראו את החישובים ונמקו. פתרונות לתרגיל 4 שאלה : בגובה h )כלומר יש בעץ +h רמות( עם n מפתחות. מצאו מהו מספר נתון עץ B עם פרמטר t א. מקסימלי של מפתחות שיכולים להיות בעץ )מהו n מקסימלי( כפונקציה של h ו- t. הראו את החישובים ונמקו.